matematika (Md)
Dlhé kružnice v 1-planárnych grafoch
Motiváciou predloženej témy je slávna Tutte-ova veta, že každý 4-súvislý planárny graf je hamiltonovský. Prirodzeným rozšírením triedy planárnych grafov sú tzv. 1-planárne grafy (ktoré majú rovinný diagram, v ktorom je každá hrana preťatá najviac jednou inou hranou), ich maximálna možná vrcholová súvislosť je 7. Je známa existencia nehamiltonovských 5-súvislých 1-planárnych grafov a tiež fakt, že každý maximálny 7-súvislý 1-planárny graf je hamitlonovský. Hypotézou je, že každý 6-súvislý 1-planárny graf je hamiltonovský.
Hlavným úlohou tejto témy je hľadanie nutných resp. postačujúcich podmienok pre hamiltonovskosť 1-planárnych grafov (vzhľadom k ich súvislosti), prípadne hľadanie garantovanej hranice dĺžky najdlhšej kružnice pre grafy, ktoré hamiltonovské nie sú.
I. Fabrici, J. Harant, T. Madaras, S. Mohr, R. Soták, C.T. Zamfirescu, Long cycles and spanning subgraphs of locally maximal 1‐planar graphs. J Graph Theory 95 (2020), 125–137. W.T. Tutte, A theorem on planar graphs, Trans. Amer. Math. Soc. 82 (1956), 99–116.
RNDr. Igor Fabrici, Dr. rer. nat.
matematika (Md)
Klastre prvkov malých stupňov v rovinných grafoch
Cieľom projektu je štúdium podgrafov v rovinných grafoch, ktoré sú vymedzené vrcholmi resp. stenami (eventuálne obomi typmi daných prvkov) malých stupňov. Rozličné existujúce výsledky v tejto oblasti sú predmetom výskumu tzv. teórie ľahkých grafov, podrobnejšie rozpracovanej od r. 1995 košickou školou diskrétnej matematiky; v ďalšom skúmaní danej problematiky sa sústredíme na duálne analógie tvrdení o ľahkých cestách v polyedrálnych grafoch vychádzajúce z konceptu reťazcov malých stien bez samodotykov, resp. indukovane ľahké cesty/podgrafy, ako aj dosiahnutie nových výsledkov o príbuzných štrukturálne motivovaných invariantoch podgrafov v polyedrálnych grafov (napr. tiaž grafu v triede grafov).
Cieľom projektu je štúdium podgrafov v rovinných grafoch, ktoré sú vymedzené vrcholmi resp. stenami (eventuálne obomi typmi daných prvkov) malých stupňov. Rozličné existujúce výsledky v tejto oblasti sú predmetom výskumu tzv. teórie ľahkých grafov, podrobnejšie rozpracovanej od r. 1995 košickou školou diskrétnej matematiky; v ďalšom skúmaní danej problematiky sa sústredíme na duálne analógie tvrdení o ľahkých cestách v polyedrálnych grafoch vychádzajúce z konceptu reťazcov malých stien bez samodotykov, resp. indukovane ľahké cesty/podgrafy, ako aj dosiahnutie nových výsledkov o príbuzných štrukturálne motivovaných invariantoch podgrafov v polyedrálnych grafov (napr. tiaž grafu v triede grafov).
S. Jendroľ, H.-J- Voss: Light subgraphs of graphs embedded in the plane—A survey, Discrete Mathematics 313(4) (2013) 406-421 O.V. Borodin, A.O. Ivanova: New results about the structure of plane graphs: A survey, AIP Conference Proceedings 1907 (2017) 030051 časopisecká literatúra elektronické informačné zdroje
prof. RNDr. Tomáš Madaras, PhD.
matematika (Md)
Komunitná štruktúra komplexných sietí
Cieľom projektu je preskúmanie rozličných prístupov k detekcii kohezívnych podskupín a komunít v grafových modeloch sociálnych resp. komplexných sietí z pohľadu teoretickej matematiky, ako i algoritmickej zložitosti a limitov ich použitia, s výhľadom zovšeobecnenia resp. dizajnu analógií existujúcich konceptov lokálnych komunít (ako sú napr. kliky, n-kliky, n-klany, n- kluby, k-plexy, LS-množiny) a vývoja nových algoritmov/heuristík pre globálnu komunitnú štruktúru siete danú rozkladom resp. pokrytím množiny aktérov pomocou systému lokálne kohezívnych podskupín.
Cieľom projektu je preskúmanie rozličných prístupov k detekcii kohezívnych podskupín a komunít v grafových modeloch sociálnych resp. komplexných sietí z pohľadu teoretickej matematiky, ako i algoritmickej zložitosti a limitov ich použitia, s výhľadom zovšeobecnenia resp. dizajnu analógií existujúcich konceptov lokálnych komunít (ako sú napr. kliky, n-kliky, n-klany, n- kluby, k-plexy, LS-množiny) a vývoja nových algoritmov/heuristík pre globálnu komunitnú štruktúru siete danú rozkladom resp. pokrytím množiny aktérov pomocou systému lokálne kohezívnych podskupín.
S. Wassermann, K. Faust: Social Network Analysis: Methods and Applications, Cambridge University Press 1994 U. Brandes, T. Erlebach: Network Analysis. Methodological Foundations, Lecture Notes in Computer Science 3418, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2005
prof. RNDr. Tomáš Madaras, PhD.
matematika (Md)
Náhodné množiny a ich aplikácie
Cieľom dizertačnej práce je štúdium rôznych prístupov k zavedeniu momentových charakteristík náhodných množín. Bolo zavedených niekoľko definícií prvých momentov, každá z nich má svoje výhody aj nevýhody. Je tiež známe, že Kruse (1987) definoval tiež rozptyl náhodnej uzavretej množiny ako množinu rozptylov všetkých jej rozptylov kvadraticky integrovateľných reprezentantov. Táto definícia vedie k rozptylu náhodnej množiny, ktorá však je príliš komplikovaná na výpočet aj pre intervaly na reálnej osi, teda už aj pre relatívne jednoduché špeciálne náhodné množiny. Okrem toho takýto rozptyl priraďuje deterministickým konvexným telesám netriviálne hodnoty. Definícia rozptylu je preto stále jeden z otvorených zaujímavých problémov a jej rozpracovanie je hlavným cieľom práce. Ďalším cieľom práce sú aplikácie nadobudnutých poznatkov pre náhodné množiny v oblasti spracovania obrazu.
1. Nguyen, H.T. (2006). An Introduction to Random Sets. Chapman and Hall/CRC. 2. Chiu, S.N., Stoyan, D. Kendall, W.S. and Mecke, J. (2013). Stochastic Geometry and Its Applications. Wiley. 3. Molchanov, I. & Molinari, F. (2018). Random Sets in Econometrics. Cambridge University Press. 4. Stoyan, D. (1998), Random Sets: Models and Statistics. International Statistical Review, 66: 1-27. 5. KRUSE, R. (1987). On the variance of random sets. J. Math. Anal. Appl. 122, 469–473.
doc. RNDr. Daniel Klein, PhD.
doc. Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.
matematika (Md)
Neaditívne integrálne operátory v kontexte neurčitosti
Dizertačná práca sa bude zaoberať štúdiom neaditívnych integrálnych operátorov s cieľom rozšíriť teoretický rámec a aplikovateľnosť neaditívnych integrálnych metód v prostredí neurčitosti. Neaditívne integrálne operátory predstavujú zovšeobecnenie klasického Lebesgueovho integrálu a umožňujú efektívnejšie modelovanie situácií, kde tradičné pravdepodobnostné prístupy nie sú dostatočné. Práca sa bude zameriavať na ich využitie v oblasti rozhodovacích procesov, agregácie informácií a modelovania neistoty. Osobitná pozornosť bude venovaná porovnaniu nových a existujúcich typov neaditívnych integrálnych operátorov, ich numerickým aspektom a možnostiam optimalizácie v podmienkach nepresných a neúplných údajov.
1. M. Grabisch, J.-L. Marichal, R. Mesiar, E. Pap: Aggregation Functions. Cambridge University Press, Cambridge, 2009. 2. M. Boczek, L. Halčinová, O. Hutník, M. Kaluszka: Novel survival functions based on conditional aggregation operators, Inform. Sci. 580 (2021), 705-719. 3. G. Beliakov, H. Bustince, T. Calvo: A Practical Guide to Averaging Functions, Studies in Fuzziness and Soft Computing, Vol. 329, Springer, 2016.
prof. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.
matematika (Md)
Od regulárneho k silnému hranovému zafarbeniu grafov
Skúmať regulárne hranové zafarbenia grafov, ktoré pre niektoré z farieb požadujú silnejšie podmienky. Silné zafarbenie požaduje od každej farby, aby koncové vrcholy hrán s touto farbou indukovali spárenie. Je známe, že pre regulárne zafarbenie grafu G postačuje Δ(G)+1 farieb. Pre silné zafarbenie je predpoklad, že postačuje 1,25.Δ(G).Δ(G) farieb, ale aktuálne najlepší známy horný odhad je 1,772.Δ(G).Δ(G). Pokúsiť sa nájsť nové odhady pre niektoré triedy grafov (napr. regulárne grafy, bipartitné grafy, rovinné grafy a pod.).
N. Gastineau and O. Togni. On S-packing edge-colorings of cubic graphs. Discrete Appl. Math., 259:63–75, 2019 H. Hocquard, D. Lajou, and B. Lužar. Between proper and strong edge-colorings of subcubic graphs. In L. Gasieniec, R. Klasing, and T. Radzik, editors, Combinatorial Algorithms, IWOCA 2020, volume 12126 of Lecture Notes in Comput. Sci., pages 355–367, Springer, 2020.
doc. RNDr. Roman Soták, PhD.
matematika (Md)
Testové štatistiky v eliptických mnohorozmerných lineárnych modeloch
Preskúmať vlastnosti a praktické aplikácie testov v mnohorozmerných lineárnych modeloch so špeciálnymi variančnými štruktúrami pri eliptických rozdeleniach.
aktuálna časopisecká literatúra
prof. RNDr. Ivan Žežula, CSc.
matematika (Md)
Testové štatistiky v špeciálnych mnohorozmerných modeloch
Preskúmať vlastnosti a praktické aplikácie testov v mnohorozmerných štatistických modeloch so špeciálnymi variančnými štruktúrami, najmä tých, ktoré sa dajú reprezentovať ako súčin beta rozdelení.
aktuálna časopisecká literatúra
prof. RNDr. Ivan Žežula, CSc.