Témy dizertačných prác pre doktorandské študijné programy pre akademický rok 2026/2027

Univerzita Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach, Prírodovedecká fakulta

Ústav matematiky

matematika (Md)

Názov

Diferenciálne invarianty

Jazyk práce

Anotácia

Práca je založená na teórii diferenciálnych invariantov obsiahnutej v publikácii [1]. Zameraním práce sú diferenciálne invarianty tenzorov. Práca sa zároveň venuje základným dôsledkom invariancie v globálnej variačnej geometrii, akými sú zákony zachovania pre rovnice extremál. Cieľom je nájsť tvrdenia o štruktúre všetkých diferenciálnych invariantov metriky a daného tenzorového poľa. Získané výsledky možno využiť pre hľadanie invariantných Lagrangiánov pre rôzne typy fyzikálnych polí.

Cieľ

Literatúra

[1] D. Krupka, J. Janyška, Lectures on Differential Invariants, Folia Facultatis Scientiarum Naturalium Universitatis Purkynienae Brunensis, Mathematica 1, University J. E. Purkyně, Brno, 1990. [2] D. Krupka, Introduction to Global Variational Geometry, Atlantis Studies in Variational Geometry, D. Krupka, H. Sun (Eds.), Atlantis Press, 2015. [3] J. Brajerčík, Second order differential invariants of linear frames, Balkan J. Geom. Appl., Vol. 15, No. 2 (2010) 22-33 (electronic version)

Školiteľ

doc. Mgr. Ján Brajerčík, PhD.

EVI

Téma bude realizovaná na externej vzdelávacej inštitúcii - Detašované pracovisko Matematického ústavu SAV v Košiciach, Grešákova 6, Košice

Názov

Klasifikácia agregačných funkcií na usporiadaných množinách

Jazyk práce

Cieľ

Práca sa zaoberá axiomatickým štúdiom a analýzou agregačných funkcií definovaných na usporiadaných množinách. Cieľom je klasifikácia týchto funkcií s ohľadom na algebraické vlastnosti štruktúr na ktorých sú definované a možnosť ich aplikácie v teórii rozhodovania

Literatúra

[1] Grabisch, M., Marichal, J.-L., Mesiar, R., Pap, E.: Aggregation Functions. Cambridge University Press, Cambridge (2009). [2] Beliakov, G., Pradera, A., Calvo, T.: Aggregation Functions: A Guide for Practitioners. Studies in Fuzziness and Soft Computing, vol. 221. Springer, Heidelbeg, (2007). [3] Halaš, R., Pócs, J.: On the clone of aggregation functions on bounded lattices. Inf. Sci. 329, 381–389 (2016).

Školiteľ

RNDr. Jozef Pócs, PhD.

Názov

Kombinatorické vlastnosti reálnej priamky

Jazyk práce

Cieľ

Cieľom práce bude skúmanie relačných systémov na množine reálnych čísel a ich kardinálnych charakteristík s použitím forcingu, modelov teórie množín a deskriptívnej teórie množín.

Literatúra

[1] Bartoszynski T., Judah H., Set Theory. On the Structure of the Real Line, A.K. Peters, Wellesley, MA, 1995. [2] Bukovský L., The Structure of the Real Line, Monografie Matematyczne, 71. Birkhäuser/Springer Basel AG, Basel, 2011. [3] Jech, T., Set Theory, The Third Millennium Edition, revised and expanded, Springer, 2002.

Školiteľ

doc. RNDr. Miroslav Repický, CSc.

Názov

Kvalitatívne vlastnosti nelineárnych funkcionálnych diferenciálnych rovníc.

Jazyk práce

Anotácia

Témou práce je študovať kvalitatívne (asymptotické a oscilatorické) vlastnosti funkcionálnych diferenciálnych rovníc. Cieľom je získať ostré kritériá pre široké triedy nelineárnych rovníc s operátormi typu p-Laplaciánu.

Cieľ

Literatúra

[1] Berezansky, Leonid, Alexander Domoshnitsky, and Roman Koplatadze. Oscillation, nonoscillation, stability and asymptotic properties for second and higher order functional differential equations. Chapman and Hall/CRC, 2020. [2] Došlý, Ondřej, and Pavel Řehák. Half-linear differential equations. Vol. 1000. Elsevier, 2005. [3] Jadlovská, Irena, and Agacik Zafer. "Oscillation Theorems for Second‐Order Trinomial Delay‐Advance Differential Equations." Mathematical Methods in the Applied Sciences, 2026, in press

Školiteľ

Ing. Irena Jadlovská, PhD.

EVI

Téma bude realizovaná na externej vzdelávacej inštitúcii - Detašované pracovisko Matematického ústavu SAV v Košiciach, Grešákova 6, Košice

Názov

Matematická teória volieb

Jazyk práce

Anotácia

Pre rôzne volebné systémy preskúmať výpočtovú zložitosť výpočtu možných a zaručených víťazov pri viacerých typoch neurčitostí a navrhnúť efektívne algoritmy pre špeciálne prípady vstupných dát.

Cieľ

Literatúra

1. Boutilier, C., Lang, J., Oren, J., & Palacios, H. (2014). Robust winners and winner determination policies under candidate uncertainty. In Proceedings of AAAI-14. 2. Cechlárová, K., Lesca, J., Trellová, D., Hančová, M., & Hanč, J. (2023). Hardness of candidate nomination. Autonomous Agents and Multi-agent Systems, 37(2), 1–33. 3. Chakraborty, V., Delemazure, T., Kimelfeld, B., Kolaitis, P. G., Relia, K., & Stoyanovich, J. (2021). Algorithmic techniques for necessary and possible winners. ACM/IMS Transactions on Data Science, 23, 1–23. https:// doi. org/ 10. 1145/ 34584 72 4. Faliszewski, P., Gourvès, L., Lang, J., Lesca, J., & Monnot, J. (2016). How hard is it for a party to nominate an election winner? In Proceedings of IJCAI-16 (pp. 257–263).

Školiteľ

prof. RNDr. Katarína Cechlárová, DrSc.

Názov

Matematické základy hierarchickej agregácie dát

Jazyk práce

Anotácia

Práca je zameraná na teoretický výskum nelineárnych agregačných operátorov v hierarchických štruktúrach. Hlavným cieľom je systematické štúdium matematických vlastností iterovaných integrálov a príbuzných agregačných mechanizmov pri viacúrovňovej agregácii dát. V podmienkach komplexného rozhodovania sú kritériá často usporiadané do viacerých hierarchických úrovní (napr. technické parametre – prevádzková efektivita – celková hodnota). Práca sa zameria najmä na analýzu podmienok, za ktorých je možné korektne prenášať interakcie (synergiu a redundanciu) medzi kritériami z nižších úrovní na vyššie, a na štúdium vlastností takto vzniknutých hierarchických modelov. Pozornosť bude venovaná otázkam stability, robustnosti a reprezentácie týchto modelov, ako aj identifikácii podmienok vhodných pre ich spoľahlivé použitie v rozhodovacích úlohách.

Cieľ

Literatúra

1. M. Grabisch: Set Functions, Games and Capacities in Decision Making. Theory and Decision Library C. Springer International Publishing, Cham, Switzerland, 2016. 2. M. Grabisch, J. Marichal, R. Mesiar, E. Pap: Aggregation Functions. Cambridge University Press, New York, 2009. 3. Y. Narukawa, V. Torra: Twofold integral and multi-step Choquet integral, Kybernetika 40 (1) (2004), 39-50.

Školiteľ

prof. RNDr. Ondrej Hutník, PhD.

Názov

Nelineárna dynamika a prediktívna inferencia založená na neaditívnych mierach

Jazyk práce

Anotácia

Dizertačná práca sa zaoberá dynamickými systémami riadenými neaditívnymi mierami a reaguje na obmedzenia klasických teórií, ktoré sa opierajú o aditivitu a preto nedokážu zachytiť interakciami podmienené správanie zložitých javov. Kým tradičné modely často považujú nelineárne interakcie za anomálie, táto práca navrhuje koncepčný posun smerom k jednotnému, štatisticky rigoróznemu rámcu pre neaditívny, interakčne citlivý vývoj systémov. Jadrom práce bude vytvorenie koherentného matematického a inferenčného rámca, v ktorom možno systematicky analyzovať neaditívne, interakciami riadené dynamické systémy. Ide o kvalitatívny posun v oblasti, ktorý poskytuje teoretické základy potrebné na štúdium systémov, ktorých zložky sa nielen sčítavajú, ale interagujú inherentne nelineárnym spôsobom. Výskum nadväzuje na vyspelé výsledky v oblasti agregačných operátorov, Choquetových typov modelov a agregačných reprezentácií neistoty. Rozšírením etablovaných konštrukcií z modelovania neistoty a nelineárnej inferencie práca rozvíja nové inferenčné nástroje a analytické techniky. Výsledkom by mal byť jednotný teoretický rámec, ktorý posunie izolované metodologické prístupy k hlbšiemu pochopeniu nelineárnych, interakciami riadených dynamických javov s potenciálnymi aplikáciami v matematike aj príbuzných vedeckých disciplínach.

Cieľ

Literatúra

1. B. Piccoli. Measure differential equations. Arch Rational Mech Anal, 233:1289–1317, 2019. 2. Negi, S. S., and Torra, V. A note on Sugeno exponential function with respect to distortion. Applied Mathematics and Computation 470 (2024), 128586. 3. Ontkovičová, Z., and Torra, V. Computation of Choquet integrals: Analytical approach for continuous functions. Information Sciences 679 (2024), 121105. 4. J. Kurzweil. Generalized Ordinary Differential Equations: Not Absolutely Continuous Solutions. Series in Real Analysis. World Scientific, 1 edition, 2012.

Školiteľ

doc. Mgr. Jozef Kiseľák, PhD.

Názov

Schwarzschildova metrika a jej zovšeobecnenie

Jazyk práce

Anotácia

Práca sa zaoberá matematickými základmi všeobecnej teórie relativity. Východiskom je štruktúra Schwarzschildovej metriky a podkladové geometrické štruktúry všeobecnej teórie relativity. Cieľom je získať tvrdenia o zovšeobecnení Schwarzschildovej metriky na metriku závislú na rýchlostiach (Finslerova metrika) invariantnú voči pôsobeniu Lieových grúp všeobecnej teórie relativity.

Cieľ

Literatúra

[1] De Felice, F.; Clarke, C.J.S. Relativity on Curved Manifolds. In Cambridge Monographs on Mathematical Physics; Cambridge University Press: Cambridge, UK, 1990. [2] D. Krupka, Introduction to Global Variational Geometry, Atlantis Studies in Variational Geometry, D. Krupka, H. Sun (Eds.), Atlantis Press, 2015. [3] D. Krupka, J. Brajerčík, Schwarzschild Spacetimes: Topology. Axioms 2022, 11 (12) 693. https://doi.org/10.3390/axioms11120693

Školiteľ

doc. Mgr. Ján Brajerčík, PhD.

EVI

Téma bude realizovaná na externej vzdelávacej inštitúcii - Detašované pracovisko Matematického ústavu SAV v Košiciach, Grešákova 6, Košice

Názov

Testovanie mnohorozmerných náhodných veličín so špeciálnymi variančnými štruktúrami

Jazyk práce

Anotácia

V posledných rokoch si najmä biomedicínsky výskum vyžiadal skúmanie mnohorozmerných a vysokorozmerných dátových štruktúr. Vzhľadom k vysokému počtu odhadovaných parametrov príslušných rozdelení mnoho výskumníkov hľadá redukciu ich počtu prostredníctvom špeciálnych variančných štruktúr. Tento prístup následne vyžaduje možnosť testovať prítomnosť týchto štruktúr v dátach a úpravu existujúcich štandardných testov stredných hodnôt resp. odvodenie nových. Cieľom dizertačnej práce bude rozšíriť paletu existujúcich metód v tejto oblasti a pomocou simulácií porovnať ich praktickú aplikovateľnosť.

Cieľ

Štúdium odvodenie testov stredných hodnôt a variančných parametrov v modeloch so špeciálnymi variančnými štruktúrami v prípade, keď dáta pochádzajú z triedy eliptických rozdelení.

Literatúra

1. Gupta, A.K., Nagar, D.K. (1999): Matrix variate distributions, Chapman and Hall 2. Gupta, A.K., Varga, T., Bodnar, T. (2013): Elliptically Contoured Models in Statistics and Portfolio Theory, Springer 3. Fang, K.-T. and Zhang, Y.-T. (1990). Generalized multivariate analysis. Springer-Verlag, Berlin 4. Filipiak, K., Klein, D., Mazur, S., Mrowińska, M. (2025). Likelihood ratio test for covariance matrix under multivariate t distribution with uncorrelated observations, Journal of Multivariate Analysis 210, no. 105490. 5. Yao, J., Zheng, S., Bai, Z. (2015). Large Sample Covariance Matrices and High-Dimensional Data Analysis. Cambridge University Press.

Školiteľ

doc. RNDr. Daniel Klein, PhD.

Názov

Vzdialenostne podmienené realizácie geometrických grafov

Jazyk práce

Cieľ

Cieľom projektu je štúdium grafových reprezentácií v euklidovských priestoroch (resp. ich podštruktúrach), ktorých hrany sú tvorené úsečkami, pričom ich dĺžky môžu nadobúdať len hodnoty z predpísanej množiny prípustných dĺžok. Tento koncept zahŕňa napr. jednotkovo nakresliteľné grafy v rovine (skúmané napr. v súvislosti s Nelsonovým problémom chromatického čísla euklidovskej roviny), nepárne nakreslenia grafov resp. celočíselné/racionálne nakreslenia rovinných grafov; v prípade požiadavky rovnosti dĺžok všetkých hrán grafu sa tiež skúmal minimálny rozmer euklidovského priestoru, v ktorom možno graf takýmto spôsobom realizovať (tzv. dimenzia grafu; zosilnený pojem, kde vrcholy netvoriace hranu majú mať vzdialenosť odlišnú od dĺžky hrán vedie k definícii podobného invariantu, tzv. euklidovskej dimenzii grafu). Pozornosť bude zameraná na získanie nových poznatkov o jednotkových, nepárnych resp. prvočíselných geometrických nakresleniach grafov špecifických tried (konvexných mnohostenov, planárnych grafov, grafových operácií či chromaticky podmienených grafov) v rovine príp. v priestoroch vyšších dimenzií, ako aj na výskum vlastností analógií dimenzie grafu s prihliadnutím na netriviálne symetrie viacrozmernej geometrickej grafovej reprezentácie.

Literatúra

[1] Alexander Soifer: The Mathematical Coloring Book, Springer, 2009 [2] Alexander Soifer: The New Mathematical Coloring Book, Springer, 2024 [3] H. Ardal, J. Maňuch, M. Rosenfreld, S. Shelah, J. Stacho: The Odd-Distance Plane Graph, Discrete Comp. Geom. 42 (2009) 132-141

Školiteľ

prof. RNDr. Tomáš Madaras, PhD.

teória vyučovania matematiky (TVMd)

Názov

Kovariančné myslenie v učení sa funkciám

Jazyk práce

Anotácia

Výskumy, ktoré sa zaoberajú rozvojom funkčného myslenia žiakov poukazujú na dôležitosť vnímania grafu funkcie ako znázornenia toho, ako sa hodnoty dvoch veličín menia súčasne. Z tohto dôvodu sa v práci zameriame na identifikáciu spôsobov uvažovania, ktoré slovenskí žiaci používajú pri predstavovaní a reprezentovaní súčasnej zmeny dvoch veličín, ako aj spôsobov uvažovania, ktoré im umožňujú alebo naopak sťažujú konštruovanie a interpretáciu grafov ako reprezentácií tejto súčasnej zmeny. Práca bude tiež skúmať, ako slovenskí žiaci uplatňujú svoje kovariančné myslenie pri práci s rôznymi reprezentáciami funkcie (tabuľka, predpis, graf) a v rôznych kontextoch. Prinesie tak nové poznatky o rozvoji kovariančného myslenia a poskytne podnety pre vyučovanie funkcií s dôrazom na kovariančný aspekt.

Cieľ

Na základe odbornej literatúry a aktuálnych výsledkov výskumu identifikovať spôsoby uvažovania, ktoré slovenskí žiaci využívajú pri konceptualizácii a reprezentovaní súčasnej zmeny dvoch veličín. Identifikovať faktory a spôsoby uvažovania, ktoré žiakom umožňujú alebo naopak sťažujú konštruovanie a interpretáciu grafov ako reprezentácií súčasnej zmeny dvoch veličín. Skúmať, ako slovenskí žiaci uplatňujú kovariančné myslenie pri práci s rôznymi reprezentáciami funkcie (grafickou, tabuľkovou, algebraickou a verbálnou). Navrhnúť a overiť výučbový experiment zameraný na rozvoj kovariančného myslenia ako jednej z foriem konceptuálneho porozumenia funkcií.

Literatúra

Bagossi, S., Ferretti, F., & Arzarello, F. (2022). Assessing covariation as a form of conceptual understanding through comparative judgement. Educational Studies in Mathematics, 111, 469–492. https://doi.org/10.1007/s10649-022-10178-w Johnson, H. L., McClintock, E., & Hornbein, P. (2017). Ferris wheels and filling bottles: A case of a student’s transfer of covariational reasoning across tasks with different backgrounds and features. ZDM Mathematics Education, 49, 851–864. https://doi.org/10.1007/s11858-017-0866-4 Rodriguez, J.-M. G., & Jones, S. R. (2024). How students understand graphical patterns: Fine-grained, intuitive knowledge used in graphical thinking. Journal for Research in Mathematics Education, 55(2), 96–118. https://doi.org/10.5951/jresematheduc-2022-0167 Thompson, P. W., & Carlson, M. P. (2017). Variation, covariation, and functions: Foundational ways of thinking mathematically. In J. Cai (Ed.), Compendium for research in mathematics education (pp. 421-456). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

Školiteľ

doc. RNDr. Ingrid Semanišinová, PhD.